Анатолий родился в семье, где по мужской линии практически все мужчины становились военными. Его дед служил в авиации, отец — во флоте, старший брат нес службу в ВВС Украины. Детство Пашинин провел занимаясь спортом: боксом и каратэ, в котором достиг значительных успехов. До окончания школы подумывал последовать примеру отца и зачислиться во флот, но решил получить высшее образование. Отучившись на двух специальностях, «экономика» и «металлургия и охрана окружающей среды», Анатолий понял, что его сфера интересов находится далеко от тех знаний, которые он получил. Несмотря на то, что уже на пятом курсе он успешно занимался маркетингом, Пашинин решился на отчаянную авантюру. Не имея знакомств и серьезного материального достатка, он отправился в Москву и поступил в театральное училище имени Щепкина. Как сообщил будущий артист одному из своих педагогов Римме Солнцевой, главной мотивацией для него была жажда славы.
В 2001 году Анатолий появился в эпизодах сериалов «Next 2» и «Львиная доля», с чего и началась его кинокарьера. Вышедший вскоре сериал украинского производства «Ундина» принес Панишину первую настоящую популярность. На съемках произошел неприятный инцидент: по сюжету герой Панишина ныряет в воду не в самое теплое время года. Анатолий едва не утонул из-за переохлаждения, к счастью его оперативно вытащили дежурившие спасатели. Лучшей работой артиста принято считать сериал «Грозовые ворота», где он сыграл роль старшего лейтенанта Доронина, несущего службу в Чечне. С 2014 года Панишин снимается значительно реже, поскольку его главным интересом стала политика. Актер уехал в Украину, чтобы сначала поддержать Евромайдан, а затем вступил в ряды Украинской добровольческой армии, с которой связан до сих пор.
Анатолий Панишин никогда не был женат. Сам он объясняет это своим темпераментом и ревнивостью. Более того, он испытывает ревность не только к той, с кем живет в настоящий момент, но и ко всем, с кем имел отношения ранее. Журналисты неоднократно отмечали, что актер склонен к женоненавистничеству. В 2017 году появилась информация, что Панишин погиб во время боевых действий, но он поспешил опровергнуть это. «Приказа командования умереть у меня не было, так что все в порядке, я жив», — заявил он.